测度
测度概述
数学上,测度(Measure)是一个函数,它对一个给定集合的某些子集指定一个数,这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的,后来人们希望把积分推广到任意的集合上,就发展出测度的概念,它在数学分析和概率论有重要的地位。
测度论是实分析的一个分支,研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分,其重要性在概率论和统计学中有所体现的。
测度的定义
形式上说,一个测度
(详细的说法是可列可加的正测度)是个函数。设
是集合
上的一个σ代数,
在上
定义,于扩充区间
中取值,并且满足以下性质:
空集的测度为零:
为
中可数个两两不交的集合的序列,则所有
的并集的测度,等于每个
的测度之总和:
这样的三元组
称为一个测度空间,而
中的元素称为这个空间中的可测集。
测度的性质
下面的一些性质可从测度的定义导出:
单调性
测度
的单调性:
若
和
为可测集,而且
,则
。
可数个可测集的并集的测度
若
为可测集(不必是两两不交的),并且对于所有的
,
?
,则集合
的并集是可测的,且有如下不等式(「次可列可加性」):
以及如下极限:
若
为可测集,并且对于所有的
,
?
,则
的交集是可测的。进一步说,如果至少一个
的测度有限,则有极限:
如若不假设至少一个
的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个
,令
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数学上,测度(Measure)是一个函数,它对一个给定集合的某些子集指定一个数,这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的,后来人们希望把积分推广到任意的集合上,就发展出测度的概念,它在数学分析和概率论有重要的地位。
测度论是实分析的一个分支,研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分,其重要性在概率论和统计学中有所体现的。
测度的定义
形式上说,一个测度
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/e/f/eefd5d1da2c8a92c0ce03a0b7993d1ef.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/c/84cc21a1ecbbe55e01e12e575a52cca2.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/7/1/f71277dbb6dda720f087627e3783b109.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/e/f/eefd5d1da2c8a92c0ce03a0b7993d1ef.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/c/84cc21a1ecbbe55e01e12e575a52cca2.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/1/5/315e0047ccbfa87354192dac2fe986fb.png)
空集的测度为零:
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/f/5/ff5047a6eda29c14578cedd262452a77.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/e/9/3e94e530292057f88251a6d6a1ccd83e.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/c/84cc21a1ecbbe55e01e12e575a52cca2.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/6/7/867fd3422751fbcdbb5380658afb6b3e.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/6/7/867fd3422751fbcdbb5380658afb6b3e.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/b/d/1bd1ba72cddb448f96db34a34a1de64a.png)
这样的三元组
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/7/847ef2ac92a6a04b43d70dd4d87d28b6.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/c/84cc21a1ecbbe55e01e12e575a52cca2.png)
测度的性质
下面的一些性质可从测度的定义导出:
单调性
测度
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/e/f/eefd5d1da2c8a92c0ce03a0b7993d1ef.png)
若
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/0/f/3/0f30bc766b8540c7c342979541c6d949.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/7/a/b7a7ec4f8107a85c4ce68d1d3978654f.png)
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![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/f/0/1f0d4416c48e83fec8608323dd45e9fb.png)
可数个可测集的并集的测度
若
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/9/4/2949a6cef158893840d09bb7d4d431bf.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/4/8/e4861b707ff550ef16e31580a5206c7e.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/5/6/35633e17e72c636526132f7e592e4204.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/4/b/2/4b273811921920602554594096427575.png)
以及如下极限:
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/9/9/f/99f960476201d9694e6421f2b28645c0.png)
若
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/e/9/3e94e530292057f88251a6d6a1ccd83e.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/4/8/e4861b707ff550ef16e31580a5206c7e.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/5/6/35633e17e72c636526132f7e592e4204.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png)
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![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/5/4/a54833a34ea7035401c95860104ffd5e.png)
如若不假设至少一个
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![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/2/2e259ed38824a8713d454b6f5bad6bde.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/1/3/c1313712763e49bc4763d361488a3b59.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png)
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![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/3/b/f3bc1f9943ac13861767a892be04bbe3.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/b/6/fb6b20dfdc28097525ae99b3bd2c8a23.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/b/6/fb6b20dfdc28097525ae99b3bd2c8a23.png)
作为例子,实数集赋以标准勒贝格测度是σ有限的,但不是有限的。为说明之,只要考虑闭区间族,k 取遍所有的整数;这样的区间共有可数多个,每一个的测度为1,而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子,取实数集上的计数测度,即对实数集的每个有限子集,都把元素个数作为它的测度,至于无限子集的测度则令为
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png)
完备性
一个可测集
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/0/b/0/0b08931cf67900aa9cfe619854cc66b8.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/9/7/2/9723dda01c2e1f2a415ced7e436b2fe9.png)
一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度:考虑
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/7/1/f71277dbb6dda720f087627e3783b109.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/a/4/ba42caf042989747e6e3aab9e240d845.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/7/b/17bf1aafd43252d4cc1766f085a6c458.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/7/b/17bf1aafd43252d4cc1766f085a6c458.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/a/4/ba42caf042989747e6e3aab9e240d845.png)
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![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/9/0/0/9004415a9e19ff219f55b1951ec343e3.png)
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例子
下列是一些测度的例子(重要性与顺序无关)。
计数测度 定义为
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/4/f/9/4f96d9e9b2f1acd825f81ad43f85698a.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/7/a/c7a36793073e1288383b0d6b7690dea7.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/2/d/62d91d8dae4cc09e12a2ff51cabdbb79.png)
![](http://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/a/0/aa0919ffd628af51a8619bc522c022dc.png)